Парадокс страхования

Клиент, который владеет собственностью V, хочет застраховать часть bV (0 < b < 1) своей собственности от возможного неблагоприятного события, которое происходит ежегодно с вероятностью p. Ежегодный страховой взнос составляет cV (0 < c < 1).

Страхование выгодно страховой компании лишь тогда, когда ожидаемая прибыль положительна, т.е. когда c больше pb. Почему же все клиенты страхуют имущество, если они знают, что страхование выгодно для компании, а не для них ?

Предположим, что клиент застраховал имущество и платил деньги в течение n лет, но страховой компании ни разу не пришлось выплачивать страховку. Тогда начальная собственность клиента (V) уменьшится до величины V(1 - c)ⁿ. А что было бы, если клиент не застраховался ? Пусть X_k обозначает случайную величину, которая равна 1, если клиент понес убытки в k-м году, и X_k = 0 в противном случае. Тогда величина собственности в (k+1)-м году равна V_k+1 = V_k(1 - bX_k+1), следовательно, спустя n лет, имеем

V_n = V e ^{SUMⁿ_k=1ln(1-bX_k)}

Поскольку ожидаемое значение величины ln(1 - bX_k) равно p ln(1 - b), с большей вероятностью получаем

V_n = V e ^{np ln(1-b)}.

Таким образом, страхование выгодно для клиента, когда V(1 - b)^np меньше, чем V(1 - c)ⁿ, т.е. (используя разложение в степенной ряд) когда c меньше, чем

pb +

p(1-p)

b² +

p(1-p)(2-p)

b⁶ + ...

Это означает, что страхование выгодно, как для клиента, так и для компании, если c больше pb, но меньше, чем указанная выше сумма. Легко видеть, что чем меньше b (т.е. чем меньшая часть собственности страхуется), тем меньше свободы в выборе величины c, т.е. возможность компромисса уменьшается.

Г. Секей, Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.